Управление амплитудой волн, вызванных донными смещениями
Аннотация
В этой статье был предложен метод управления амплитудами волн, вызванных смещениями дна, в плоскости рассмотрена задача о волновом движении идеальной однородной жидкости.
Ключевые слова: Управление амплитудами волн, возмущениями дна, идеальной однородной жидкости, интегральное преобразование, уравнению неразрывности, свободная поверхность.05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
В последние годы существенно возросло число хозяйственных объектов, располагающихся у побережья морей и океанов, и, следовательно, подверженных катастрофическому воздействию волн. Значительная часть этих объектов характеризуется высокой степенью риска как в период их возведения так и, главным образом, в период эксплуатации.
В работе предложен метод управления амплитудами волн, вызванных донными смещениями.
-
Постановка задачи. В плоской постановке рассматривается задача о волновом движении идеальной однородной жидкости, вызванном возмущениями дна, поверхностными активными напряжениями и начальными условиями. возмущения дна .
(1)
Здесь,
- компоненты скорости частиц жидкости, 
- динамическая часть гидродинамического давления,
- возвышение свободной поверхности, 
- глубина жидкости, 
- плотность жидкости, 
- ускорение свободного падения, 
- коэффициент поверхностного напряжения [1], 
- внешнее активное напряжение, действующее на свободной поверхности водоема, 
- заданная скорость смещения дна водоема, 
- начальная деформация свободной поверхности жидкости,
- начальные скорости частиц жидкости,
- время, 
- координаты.
Начало координат взято на невозмущенной поверхности жидкости, ось
- направлена вертикально вверх против силы тяжести, ось
- направлена по горизонтали, в горизонтальных направлениях жидкость простирается до бесконечности.
2. Интегральная форма решения. Применим к задаче (1) интегральное преобразование Лапласа по времени 
, и экспоненциальное преобразование Фурье по переменной
[2].
Здесь 
- параметр преобразования Лапласа, 
- параметр преобразования Фурье,
- двойное преобразование Лапласа и Фурье 
функции . Получим:
(2)
В процессе применения интегральных преобразований учтены начальные условия и условия на бесконечности по 
(1).
Первое уравнение системы (2) умножим на
, второе продифференцируем по 
и сложим их. При этом учтем, что начальное поле скорости удовлетворяет уравнению неразрывности:
, и поэтому
.
Имеем:
,
.
Здесь
, 
- неизвестные постоянные, которые надо найти из граничных условий.
Из первого и второго уравнений системы (2) находим:
(3)
Далее имеем:
Подставляем найденные выражения для 
в граничные условия системы (2), получим систему уравнений для определения
и
:
(4)
Вычислим основной определитель
этой системы. Имеем:
Далее находим 
:
, 
(5)
Формулы (3), (4), (5) дают решение поставленной задачи в трансформантах Фурье и Лапласа.
Проведем исследование свободной поверхности. Имеем:
(6)
Отметим, что форма свободной поверхности зависит от всех возмущающих факторов: от внешнего давления, от возмущений дна, от начальных условий.
При этом каждый возмущающий фактор входит независимо один от другого в силу линейности задачи.
Применив теоремы о свертках для преобразования Лапласа
и для преобразования Фурье
,
мы получим решение задачи в интегральной форме. Для дальнейшего анализа формы свободной поверхности, надо задавать конкретные функции 
,
,
.
3. Управление амплитудой волн. Учитывая, что каждый возмущающий фактор можно изучать отдельно, положим 
.
Подберем теперь внешнее давление
так, чтобы его действие гасило волны, вызванные возмущениями дна. Имеем:
(7)
Приравняв числитель к нулю, находим:
Отсюда:
(8)
Вычисляя для конкретно заданной подвижки дна её трансформанту Фурье, находим, какое надо приложить внешнее напряжение к свободной поверхности водоема, чтобы на ней не возникали волны, вызванные движением дна.
4. Примеры. Пусть:
Здесь 
- любая функция от времени, которая описывает временную динамику деформации дна бассейна. Тогда:
Такой выбор примера обусловлен тем, что в интеграле (8) в знаменатели стоит ноль второго порядка и его надо погасить для сходимости интеграла.
Теперь,
имеет вид:
(9)
Последний интеграл табличный [3], (3.552)
Здесь
- дзета, функция Римана [3]:
, 
Можно вычислить интеграл (9) и разложением подынтегральной функции на простейшие дроби:
Или:
Последний интеграл табличный [3] (3.552). Имеем:
Воспользовались представлением [3] (8.215)
Окончательно выводим:
Конечно, в точно таком виде реализовать внешнее давление на поверхность водоема затруднительно. Но можно ограничиться несколькими членами построенных асимптотик. Безусловно, такие поверхностные воздействия не погасят полностью деформацию свободной поверхности жидкости. В асимптотическом плане соответствующие малые их значения могут быть рассчитаны исходя из полученных соотношений.
Литература
1 Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе И. В. Теоретическая гидродинамика, ч.1.// М.,физматгиз, 1963 г., 584 стр.
2 . К. Дж. Трантер. Интегральные преобразования в математической физике.// Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва 1956 г. 204 стр.
3 . И. С. Градштейн, и И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений// М., физматиз, 1962 г, 1100стр.