Термодинамическая модель локально-равновесного состояния газонасыщенного угля в пласте

Аннотация

Товаровская Н.М., Мощенко И.Н.

Представлена термодинамическая модель газонасыщенных углей средней степени метаморфизма, описывающая зависимость локальных деформационных и сорбционных параметров от горного давления и давления газа в порах.  Для проверки адекватности разработанной модели проведен теоретический расчет зависимостей сорбционной емкости углей от давления газа при лабораторных условиях. Получено хорошее соответствие результатов расчета с экспериментальными данными, что указывает на правомочность использования модели для анализа системы уголь-газ. Разработана методика привязки модели к конкретным геофизическим условиям в пласте, позволяющая по результатам лабораторных экспериментов и замеров газосодержания в пласте рассчитать естественную газоемкость в зависимости от газового давления в порах. Полученные результаты могут быть использованы для оценки остаточного газосодержания, а также для разработки динамических моделей всего процесса дегазации в пласте. Ключевые слова: термодинамическая модель, газонасыщенный уголь, система уголь - газ, процессы дегазации, остаточное газосодержание, динамические модели

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

Ростовский государственный строительный университет

В последнее десятилетие в угольной промышленности на повестку дня стал такой вопрос как извлечение углеводородных газов из угольных пластов. Это связано как с необходимостью превентивной скважинной дегазации загазованных пластов на действующих и ликвидированных шахтных полях для обеспечения геоэкологической безопасности, так и с возрастающей ролью добычи угольного метана как самостоятельного сырья. Для разработки научно обоснованных методов дегазации немаловажную роль играет теоретический анализ происходящих при этом процессов, в частности, их компьютерное моделирование, разработка геофизических, термодинамических и математических моделей газонасыщенного угольного пласта.
Первый этап по моделированию динамики процессов дегазации угольных пластов сводится к более узкой статической задаче - созданию теоретической модели, позволяющей по  экспериментальным геофизическим данным и результатам лабораторных испытаний рассчитывать удельное содержание газа в пласте (в различных формах) и его изменение в зависимости от горного и газового давлений.  Разработка такой модели и методики ее привязки к геофизическми условиям конкретных угольных пластов и является основной целью настоящей работы.

1. Термодинамическая модель локально-равновесного состояния газонасышенного угля

В основу работы положен подход, предложенный в [1, 2].  Газонасыщенный уголь моделировался трехфазной системой, состоящей из трещиновато-пористой матрицы, в порах которой находится свободный газ, а в приповерхностной области пор – сорбированный. Принцип квазистатического локального термодинамического равновесия был положен в основу анализа поведения системы при изменении внешних условий. Кинетика процессов учитывалась только изменением управляющих параметров. Моделирование проводилось в рамках феноменологической термодинамики.
Неравновесный термодинамический потенциал, определяющий поведение рассматриваемой системы при изменении внешних условий, складывается из потенциала  свободного газа (первая строка в (1)), потенциала твердой фазы (вторая строка в (1))  и потенциала  сорбированного газа (третья строка в (1)):

F = -N₂ kT ln(eV₂ /N₂) + N₂ f(T)+PV₂ + (K )y₂ /2 + σy  - γyN₁ + αN₁² - QN₁ + 
+ N₀ kT(C lnC +(1-C) ln(1-C));    (1)                     

где T - температура системы; P - давление газа в порах; f(T) - некая термодинамическая функция, зависящая только от температуры; V₂  - объем пор, содержащихся в единице объема системы (объемная концентрация пор); N₂ - число молекул свободного газа в них, σ - напряжение в системе; y - относительная объемная деформация (y =  ΔV1/V,  где  ΔV₁ - абсолютное изменение объема системы, V  - объем системы); K  - эффективный модуль всестороннего сжатия угля, N₁  - число молекул газа, сорбированного в единице объема системы. Первое слагаемое в третьей строке (1) описывает в линейном приближении экспериментально наблюдаемое набухание угля при растворении в нем газа, второе слагаемое описывает взаимное отталкивание сорбированных в приповерхностном слое молекул газа, третье слагаемое характеризует взаимное притяжение молекул растворенного газа и угольной матрицы (Q имеет смысл удельной теплоты растворения), последнее слагаемое является конфигурационной энтропией, где k – постоянная Больцмана, N₀  - число вакансий в единице объема угольной матрицы, которые могут быть заняты молекулами газа (C – молекулярная концентрация связанного газа, C=N₁ /N₀).
Отметим, что хотя мы и указали физический смысл коэффициентов γ , α, Q и N₀, они не являются реальными микроскопическими параметрами твердого газоугольного раствора, а играют роль макроскопических феноменологических констант и определяются на основе экспериментальных данных. Постоянные  γ, α и Q   находятся из экспериментов по измерениям величины набухания угля и теплоты растворения в лабораторных условиях. Коэффициент N₀  можно определить из изотерм сорбции.
Управляющими параметрами для неравновесного потенциала (1) являются горное давление σ, давление газа в порах P и температура T. Такими же параметрами, фиксированными для каждой системы, являются феноменологические коэффициенты K , γ , α, Q и N₀. Для каждой конкретной системы управляющим параметром  будет также полное содержание газа (на единицу объема) N= N₁ + N₂. Оно зависит от предыстории формирования системы уголь-газ и локальных геологических условий.
В разрабатываемой модели относительная объемная деформация системы y, удельный объем пор и трещин V₂ и число молекул газа в связанном (N₁) и свободном  (N₂) состояниях являются внутренними параметрами и в (1) входит их неравновесное значение. Минимизирую термодинамический потенциал по этим переменным (при условии N=N₁ + N₂=const), получим уравнения состояния системы уголь-газ:

∂F/∂y = Ky + σ - γN₁ =0;          (2)
∂F/∂y₁ = -(N₂kT)/V₂ + P =0;          (3)
∂F/∂N₁ = kT ln(C/(1-C)) - Q - γy + 2αN₁+ kT ln(V₁/N₂) - f(T) =0;          (4)

Отметим, что уравнение (2) представляет собой обобщенный закон Гука (с учетом набухания угля при газификации), уравнение (3) – уравнение состояния идеального газа,  а  (4) – равенство химических потенциалов свободного и связанного газов в равновесии.

2. Проверка адекватности и  расчет параметров модели для лабораторных условий.

Разработанная модель должна также описывать не только систему уголь-газ в естественных условиях, но и изотермы сорбции, измеренные в лабораторных условиях. Сорбция газа при этом идет через поверхность открытой системы пор и трещин, давление P в них совпадает с внешним, то есть σ  = P. Подставляя в (2 - 4) это соотношение, разрешая первое и второе уравнения относительно y и V₂,  и подставляя их в третье, получим трансцендентное уравнение описывающее зависимость между молекулярной концентрацией поглощенного газа С и его давлением P:

kTln(C/(1-C) = (γ²/(K) – 2α)N₁ + kT ln(P) – kT ln(kT) + Q + f(T).                                                                 (5)

Экспериментально обычно измеряется сорбционная емкость    на единицу массы угольного образца (м3/т или см3/г), которая связана с концентрацией C следующим образом:

χ = N₀ CV_m 10³ /( N_А ρ ) = C χ₀;                                                (6)

где χ₀ – предельная сорбционная емкость, N_А – число Авогадра.

χ₀ = N₀V_m 10³ /( N_А ρ ).                                                              (7)

Подставляя (6, 7) в (5), получим уравнение, описывающее теоретические сорбционные кривые:

ln(χ/(χ₀ - χ)) = A χ + lnP – DP + B;                                              (8)

где

A = (γ²/(K) – 2α)N_Аρ10^-3/(KkT),                                                   (9)
B = 6ln10 – ln(kT) + (Q + f(T))/(kT),                                          (10)
D = γ10⁶/(kT).                                                                           (11)

Отметим, что для удобства дальнейших расчетов, коэффициенты в (8) перенормированны таким образом, что сорбционная емкость χ выражается в м³/т или см³/г, а давление – в МПа.
Таким образом, в предлагаемой модели сорбционные зависимости определяются четырьмя феноменологическими коэффициентами, такими как χ₀, A, B и D. Эти коэффициенты, в свою очередь,  могут быть рассчитаны по геофизическим и горным параметрам конкретных угольных пластов. К сожалению, при стандартных измерениях, определяются не все необходимые для привязки модели характеристики. К примеру, по стандартному набору геофизических параметров для пласта 60 59 по скважине 16116 Талдинская (все конкретные расчеты в работе сделаны для этого пласта) были определены только плотность угля, пористость, температура, горное давление, модуль всестороннего сжатия. Для конкретизации модели необходимо еще знать предельную газоемкость пласта χ₀, модуль набухания  γ, теплоту растворения газа Q и удельную энергию взаимного отталкивания молекул газа в твердом растворе, а также некоторые термодинамические параметры свободного газа (в частности вышеприведенную функцию f(T)). Поэтому привязка модели к конкретным условиям проводилась в обратном порядке. По экспериментальным сорбционным кривым определялись феноменологические коэффициенты χ₀, A, B и D, а по ним рассчитывались недостающие геофизические параметры углей. Для вычисления коэффициентов по экспериментальным данным использовались спрямляющие координаты:

Z = ln(χ/(χ₀ - χ)) - lnP + DP;     X = χ.                                      (12)

Неизвестные коэффициенты χ₀, D, A и B, рассчитывались методом наименьших квадратов. Для рассматриваемых углей получены следующие значения феноменологических коэффициентов:

χ₀=32.6 м3/т, D = 0.001221213703  Па^-1, A= - 0.05999639761 т/м³,
B=0.01085510635.                                                            (13)

При этом коэффициент корреляции равен r_к = - 0.998 (с уровнем достоверности больше 0.9), среднеквадратичное относительное отклонение по спрямляющей переменной Y равно  0.84 %, а среднеквадратичное относительное отклонении по газоемкости χ – 0.26 %. Полученные результаты позволили также рассчитать недостающие геофизические параметры рассматриваемых углей.
Таким образом, сравнение полученных теоретических результатов с экспериментальными данными по сорбции угля подтвердили адекватность модели, а также позволили определить часть недостающих геофизических параметров для рассматриваемого конкретного пласта.

3. Расчет параметров модели для условий естественного залегания.

В газонасыщенных углях в условиях естественного залегания сорбированный газ находиться в термодинамическом равновесии со свободным, содержащимся в порах, при давлении, равном горному (σ  = P) и модель, рассмотренная в предыдущем разделе, полностью подходит и для них. При этом прямой перенос результатов, полученных для лабораторных углей на угли в пласте не правомочен. Если мы посчитаем сорбционную газоемкость по экспериментальной кривой, либо по модели предыдущего раздела, то получим 23.2 м³/т. С учетом пористости, равной 4.8%, полная газоемкость получается равной 27 м³/т. Эта величина превышает газоемкость Vг = 20 м³/т, измеренную методом кернозаборника.  Такое большое отличие вряд ли может быть связано с ошибкой измерений и обусловлено, на наш взгляд, изменением параметров угля при его извлечении. Из всех геофизических параметров, входящих в модель, в первую очередь, может измениться пористость V₂. Остальные параметры, входящие в модель, имеют химическую природу и не изменяются при механических воздействиях. Введенный нами параметр - удельное число газовых вакансий в угольной матрице N₀ и пропорциональная ему предельная сорбционная емкость χ₀ для рассматриваемого типа сорбции пропорциональны площади пор и тоже должны измениться. Оценить эти изменения и адаптировать модель для углей в условиях естественного залегания можно исходя из следующих соображений.
Увеличение пористости при извлечении угля  происходит путем добавления к уже существующей системе открытых пор и трещин новых пор и трещин, образующихся при разрыве газом закрытых пор. При этом спектральный состав (по размерам) открытой и закрытой систем пор и трещин в первом приближении одинаков [3]. Тогда можно предположить, что если объем пор увеличился в λ раз (V₂’ = λV₂ ), то N₀ и χ₀ увеличатся в   раза (). Здесь у нас величины без штрихов соответствуют естественным условиям, со штрихами – лабораторным и известны (V₂’=0.038 м³/т, χ₀’=32.6 м³/т). При этом

V₂ = λ^-1 V₂’;                              (14)

Полная газоемкость пласта определяется соотношением

V^г = 10P V₂  + χ;                                                                      (15)

где P=10 МПа, V^г=20 м³/т, сорбционная газоемкость χ находится из уравнения (8). Подставляя (14) в (8, 15), получим уравнение для определения λ. Результаты решения этого уравнения и пересчитанные для условий естественного залегания геофизические параметры углей приведены в табл. 1. Там же для справки повторены численные значения коэффициентов модели.

Таблица 1. Геофизические параметры угля пласта 60 59 по скважине 16116 Талдинская, пересчитанные для естественных условий.

При дегазации пластов и добыче газа скважина, проходящая через пласт, приводит к частичной разгрузке и напряжения в окрестности скважины уже не равны горному давлению. Из-за высокой пластичности угля они по-прежнему носят квазигидростатический характер, но зависят от расстояния до скважины. Оценки, проведенные в плоском приближении показывают, что эта зависимость носит квадратично-гиперболический характер:

σ  = σ₀ (1 – (r₀/r)²),                                                                   (16)

где r – расстояние до скважины, r₀ – ее радиус, σ₀ – горное давление  в пласте без скважины.
Термодинамический потенциал (1) и полученные из него уравнения состояния (2 - 4) , описывают сорбцию газа в окрестности скважины. При этом напряжения σ определяются соотношением (16), а давление P является внешним параметром и зависит от времени и координат. Исключая из этих уравнений объем пор V₂ и деформацию y, и переходя от концентрации сорбированного газа   C к газоемкости χ, получим уравнение, связывающее газоемкость с давлением газа в порах, аналогичное уравнению (8):

ln(χ/(χ₀ - χ)) = A χ + lnP – D σ + B.                                           (17)

В дальнейшем полученная сорбционная кривая (17) будет использована при моделировании процессов фильтрации газа и газоотдачи в скважину. Однако работа с неявной трансцендентной (17) либо числовой зависимостями затруднительно. По этой причине трансцендентная зависимость (17) аппроксимировалась нами явной функциональной. Как показано на многочисленных данных в [4], экспериментальные сорбционные кривые хорошо описываются гиперболической зависимостью, и она была взята для аппроксимации:

χ = P/(MP + S).                                                                        (18)

Для аппроксимирующей функции вводились спрямляющие координаты и гиперболическая зависимость сводилась к линейной. Неизвестные коэффициенты M и S определялись методом наименьших квадратов по рассчитанной газоемкости. Получено, что для рассматриваемых углей M = 0.0470402724 т/м³, S = 0.08471069940 МПа∙т/м³ при 1 % среднеквадратичной относительной погрешности.

Заключение

В работе представлена термодинамическая модель газонасыщенных углей средней степени метаморфизма, описывающая зависимость локальных деформационных и сорбционных параметров от горного давления и давления газа в порах.  Для проверки адекватности разработанной модели был проведен теоретический расчет зависимостей сорбционной емкости углей от давления газа при лабораторных условиях. Получено хорошее соответствие результатов расчета с экспериментальными данными, что указывает на правомочность использования модели для анализа системы уголь-газ.
Разработана методика привязки модели к конкретным геофизическим условиям в пласте, позволяющая по результатам лабораторных экспериментов и замеров газосодержания в пласте рассчитать естественную газоемкость в зависимости от газового давления в порах. Полученные результаты могут быть использованы для оценки остаточного газосодержания, а также для разработки динамических моделей всего процесса дегазации в пласте.

Литература

1. И.Н. Мощенко, Н.Ф. Лосев, Ю.М. Гуфан. Теоретический анализ метастабильных состояний системы уголь-газ. Т.1. - Ростов-на-Дону.  СКНЦ ВШ, НТП    "Уголь-выброс",  1996.- 36 с.
2. И.Н. Мощенко, Н.Ф. Лосев, Ю.М. Гуфан. Теоретический анализ метастабильных состояний системы уголь-газ. Т.2. - Ростов-на-Дону. СКНЦ ВШ, НТП    "Уголь-выброс",  1996.- 26 с.
3. Л.Я. Кизильштей. Угли как трещинные коллекторы газа. - Ростов-на-Дону, СКНЦ ВШ, НТП    "Уголь-выб­рос",  1993.
4. Петросян А.Э. Выделение метана в угольных шахтах.-М.:Наука, 1975.- 188 с.

 20 июня 2008 г.