Соприкосновение линейчатых развертывающихся поверхностей

Аннотация

А.С. Нитейский, К.Л. Панчук

  Рассмотрены вопросы соприкосновения линейчатых развертывающихся поверхностей по их общей образующей. Исследованы свойства таких поверхностей и их стрикций для начальных порядков соприкосновения. Полученные результаты исследований могут быть положены в основу инженерного конструирования сложных технических линейчатых поверхностей, состоящих из линейчатых сегментов, состыкованных по условиям соприкосновения.

Ключевые слова: линейчатая поверхность, порядок соприкосновения, дуальный вектор расхождения, линейчатая полоса

05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная графика

В работах [1,2] были представлены результаты исследования соприкосновения косых (неразвертывающихся) линейчатых поверхностей по их общей  образующей прямой.
Рассмотрим применение этих результатов для соприкасающихся линейчатых развертывающихся поверхностей (ПЛР).
Уравнение линейчатой поверхности может быть выражено в дуальной векторной форме [3]:
, ω₂=0, где  - единичный вектор образующей прямой;  - момент вектора  относительно начала координат системы отнесения; - дуальный единичный вектор с координатным представлением , при этом ; t – вещественный параметр T₀ ≤ t ≤ T₁   . Полагаем, что дуальная векторная функция   обладает на отрезке изменения параметра т непрерывными производными любого порядка. В центральной точке А образующей линии линейчатой поверхности существует ортонормированный триэдр с дуальными ортами [3]:
; ; .
Деривационные уравнения триэдра имеют известный вид [3]:
 ,      (1)
Дуальная дуга образующей ЛП зависит от вещественного параметра .
Пусть для другой ПЛР с уравнением , ω₂=0 имеют место геометрические предпосылки, аналогичные указанным для первой . Если разложить дуальные векторные функции и в ряд Тейлора по степеням приращения ∆_t их образующих t0 и  то, учитывая существование функции , можно получить дуальный вектор расхождения соприкасающихся ПЛР в их общей образующей: , представимый также в виде разложения в ряд Тейлора. Вектор , характеризующий близость обеих ЛП в окрестности их общей образующей, определяется двумя образующими  и  , каждая из которых смещена по своей  ЛП на одну и ту же дуальную дугу от общей образующей.
Если и - поверхности ПЛР, но не цилиндрические и не конические, то параметры Р  и их образующих равны нулю и поэтому элементы их дуальных дуг ∆s и  - вещественные числа ∆s₀ и .  Стрикционные линии рассматриваемых поверхностей будут их ребрами возврата. В этом случае, например для ПЛР , ее образующая  будет касательной в точке А ребра возврата,  - главной нормалью и  - бинормалью, поскольку по определению определяет ось вещественного угла , принадлежащего соприкасающейся плоскости ребра возврата (А), где k и  - соответственно кривизна и элемент дуги линии (А).
Для соприкосновения порядка n=1 из условий обеспечения данного порядка:
;;,     (1)
с учетом следует [1]:
.
В итоге получаем Поскольку , то получаем
   (2)
Таким образом, соприкосновение n = 1 для двух ПЛР приводит к совпадению их триэдров и к выполнению равенства (2). Если к первым двум равенствам (1) добавить ; то получим условия обеспечения соприкосновения второго порядка двух линейчатых поверхностей. Поскольку имеют место уравнения
; ,   (3)
то в общей образующей соприкасающихся ПЛР выполняются условия:
;;,       (4)
из которых следуют равенства: ; ; , в которых
 и   - элементы дуальных дуг ЛП, образованных бинормалями  и  соответственно стрикций (ребер возврата) соприкасающихся ПЛР, при этом .
Из дифференциального уравнения стрикции линейчатой поверхности [3]

с учетом условий для ПЛР: h₁=0, q₁≠0, следует уравнение ее стрикции . Из него следует . Таким образом, с произвольным знаком получаем:
     (5)
Из с учетом (5) можно получить:
     (6)
Из третьего дуального равенства (4) следуют вещественные равенства  что позволяет записать
       (7)
Учитывая (2), получаем итоговый результат
    (8)
Для элемента  дуальной дуги, образованной перемещением бинормали , можно записать [3] дуальные равенства: , из которых, по разделению главных и моментных компонент, на основании (7) следует:
;
Таким образом, имеет место следующий результат:
    (9)
Элемент дуальной дуги  бинормали ребра возврата ПЛР может быть выражен известным образом [4]:
       (10)
где  – кручение линии (А) в точке А. Поскольку имеет место результат (9), то следует
      (11)
т.е. кручения ребер возврата (А) и () соприкасающихся ПЛР в центральных точках  их совмещенных образующих также равны. Из (10) и предыдущих результатов, следует: что позволяет получить следующие результаты:  Для параметра элемента дульной дуги имеют место соотношения
    (12)
что приводит с учетом (11) к равенству
      (13)
Определим теперь элемент дуальной дуги, описываемой главной нормалью  линии (А) на основании дуального уравнения [4]
    (14)
Разделяя в нем главную и моментную компоненты и учитывая вышеприведенные результаты, получим:

После подстановки в это уравнение ранее полученных результатов, а именно , приходим к следующей формуле:

Из формулы (14), с учетом ранее доказанных равенств  и , следует
   (15)
Для параметра дуального элемента  на основании (8) и (11) можно записать:
      (16)
Для дуальной кривизны линейчатой поверхности в ее образующей известна дуальная формула [4]

            ,      (17) 

в которой  – дульный угол между образующей  поверхности ПЛР и соответствующей ей прямой, определяемой единичным винтом , представляющем собой главную часть единичного дуального вектора  (Рис. 1).
Если подставить в формулу (17) выражение элементов и , то получим уравнение
  (18)
из которого, с учетом (8) и (11), следует
        (19)
Если же деривационные уравнения триэдров линейчатой поверхности представить в дуальной координатной форме, то для случая ПЛР получим уравнения  
               (20)
где тройки {x,y,z}, {x₁,y₁,z₁} и {α,β,γ} суть координаты единичных дуальных векторов  , исоответственно.
Из  следует
Из равенства  с учетом  следует

где - единичный дуальный вектор главной нормали поверхности ПЛР для ее образующей прямой . С учетом изложенного и уравнений (20) получаем: где Таким образом, у соприкасающихся ПЛР вдоль их общей образующей совмещены триэдры эволют первого порядка:
Из равенства следует . По этому уравнению можно определить  вторую производную
     (21)
(21) по существу представляет собой преобразованное выражение среднего условия (4). Определим производную дуальной кривизны линейчатой поверхности со стрикционной линией () исходя из (17) и (21):
.
На основании (21) следует:
;.
Предшествующее уравнение для  с помощью подстановок выражений для и  можно последовательно привести к окончательному виду:
    (22)
Очевидно, что , но  Из формулы (17) и следует равенство        

Учитывая, что выполняются условия из последнего равенства получаем  Но  представляет собой дуальный изгиб δ поверхности ПЛР в ее образующей [4]. Следовательно, выполняется равенство
     (23)
из которого следует, что соприкасающиеся ПЛР в их общей образующей  имеют равные дуальные изгибы. Поскольку для линейчатой поверхности в ее образующей линии
 имеет место формула [4]: где  - дуальный угол, соответствующий эволюте () ПЛР (Рис.1), то из следует
   (24)
что позволяет утверждать о совмещении триэдров эволют второго порядка соприкасающихся ПЛР: 
Предположим, что трехгранники стрикций (А) и () двух соприкасающихся ПЛР в точке А= совмещены, т.е. . Можно показать, что этих условий достаточно для получения соприкосновения n = 1 данных ПЛР. Имеют место равенства и .
Если совпадают трехгранники стрикций двух соприкасающихся ПЛР и имеет место условие , то из  следует  Нетрудно показать, что в этом случае не нарушаются условия соприкосновения n = 1 и не выполняются условия соприкосновения n = 2.
Если выполняется условие  при совпадении трехгранников стрикций соприкасающихся ПЛР, то получаем равенство и совмещены дуальные триэдры эволют первого порядка Но поскольку в исходных условиях отсутствует задание непрерывного изменения  дуальной кривизны ε у соприкасающихся ПЛР, то их соприкосновение не является полным для n = 2, поскольку не выполняется одно из условий (4) этого соприкосновения. На основании (17) можно получить
    (25)
Следовательно, для полного выполнения условий соприкосновения n = 2 двух ПЛР в их общей образующей необходимо существование в этой образующей значения дуального изгиба  Значение же последнего, как следует из (25), зависит от кривизны k, дуального угла R_и от дуальной величины , которая, согласно (18), определяется k и χ, их производными и , и значениями этих производных в точке А ≡  двух стрикций (А) и () – ребер возврата соприкасающихся ПЛР.
На рисунках 3 и 4 приведены иллюстрации примеров стыковки торсовых поверхностей, образующих линейчатые развертывающиеся полосы и ребра возврата которых представляют собой сегменты пространственного кусочного сплайна. В качестве сегментов выбраны эрмитовы сплайны [5]. Расчет полос выполнен в системе компьютерной алгебры Maple.

Литература:

1. Панчук, К.Л. Вопросы теории соприкасающихся линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук. – Омск: ОмПИ, 1987. – 11 с. – Деп. в ВИНИТИ  22.05.87, №4496 – В87.
2. Панчук, К.Л. О соприкосновении линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук // Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач: межвуз. темат. сб. науч. тр. – Омск, 1987. – С. 62-66.
3. Бляшке, В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. В 2-х т. Т.1. Элементарная дифференциальная геометрия [Текст] / В. Бляшке. – М.; Л.: Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. – 330с.
4. Зейлигер, Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия [Текст] / Д. Н. Зейлигер. – М.; Л.: Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. – 196с.
5. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука,. 1980. 352 с.